Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點A(0，4)，B(－2，0)，C(6，0)．過點A作AD∥x軸交拋物線于點D，過點D作DE⊥x軸，垂足為E.M是四邊形OADE的對角線的交點，點F在y軸的負半軸上，坐標為(0，－2)．

(1)求拋物線所對應的函數表達式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；

(2)當點P，Q分別從C，F兩點同時出發，均以每秒1個單位長度的速度沿CB，FA的方向運動，點P運動到點O時P，Q兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，在運動過程中，以P，Q，O，M四點為頂點的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x＋4，四邊形OADE為正方形；（2）當0≤t＜2時，S＝t2－5t＋12；當2＜t＜6時，S＝4.

【解析】（1）由拋物線y=ax2+bx+c經過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三點，把三點坐標代入拋物線表達式中，聯立方程解出a、b、c．
（2）過M作MN⊥OE于N，則MN=2，由題意可知CP=FQ=t，當0≤t<2時，OP=6-t，OQ=2-t，列出S與t的關系式，當t=2時，Q與O重合，點M、O、P、Q不能構成四邊形，當2<t<6時，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可證三角形全等，進而計算出三角形面積．

（1）∵拋物線經過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），
∴c=4，
，
解得a= ，b=，c=4．
∴拋物線的解析式為y=－x2＋x＋4．
四邊形OADE為正方形．

(2)根據題意可知OE＝OA＝4，OC＝6，OB＝OF＝2，

∴CE＝2，CO＝FA＝6.

∵運動的時間為t秒，

∴CP＝FQ＝t.

過點M作MN⊥OE于點N，則MN＝2.

如圖，

當0≤t＜2時，OP＝6－t，OQ＝2－t，

∴S＝S△OPM＋S△OPQ＝ (6－t)×2＋ (6－t)(2－t)＝ (6－t)(4－t)，

即S＝t2－5t＋12.

當t＝2時，點Q與點O重合，點M，O，P，Q不能構成四邊形．

如圖，

當2＜t＜6時，連結MO，ME，則MO＝ME且∠QOM＝∠PEM＝45°.

∵FQ＝CP＝t，FO＝CE＝2，

∴OQ＝EP，

∴△QOM≌△PEM，

∴S四邊形OPMQ＝S△MOE＝×4×2＝4.

綜上所述，當0≤t＜2時，S＝t2－5t＋12；

當2＜t＜6時，S＝4.