Question

【題目】如圖①，在銳角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于點D，BD=3，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB向終點B運動，過點P作PE∥AC交邊BC于點E，以PE為邊作Rt△PEF，使∠EPF=90°，點F在點P的下方，且EF∥AB．設△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位）（S＞0），點P的運動時間為t（秒）（t＞0）．

（1）求線段AC的長．

（2）當△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形時，求S與t之間的函數關系式．

（3）若邊EF與邊AC交于點Q，連結PQ，如圖②．

①當PQ將△PEF的面積分成1：2兩部分時，求AP的長．

②直接寫出PQ的垂直平分線經過△ABC的頂點時t的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當0＜t≤1時，S=t2+t；當≤t＜5時，S=（5﹣t）2；（3）①或；②或.

．

【解析】試題分析：

（1）在Rt△ABD中，由∠BDA=90°，AB=5，BD=3，可由勾股定理求得AD=4；在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，可求得CD=1；由此可得AC=AD+CD=5；

（2）由題意分析可知，如圖1，當點D在線段EF上或EF的下方時，△PEF與△ABD重疊部分圖形為矩形PMDN；如圖2，當點F落到AC上或AC的上方時，△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形PMFN；分這兩種情況分析討論即可；

（3）①如圖3、圖4，分I、S△PFQ：S△PEQ=1：2和II、 S△PFQ：S△PEQ=2：1兩種情況討論，由此可分別可得到：S△PEQ：S△PEF=2：3和S△PEQ：S△PEF=1：3從而可得：PG：PF=2：3和PG：PF=1：3，結合PG= ，PF=即可解得所求AP的長；

②如圖5、圖6，分I、PQ的垂直平分線經過當點A和II、PQ的垂直平分線經過點B兩種情況分析討論即可求得對應的t的值.

試題解析：

（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，

∴AD=，

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，

∴CD=，

∴AC=AD+CD=4+1=5．

（2）如圖1中，當0＜t≤1時，重疊部分是四邊形PMDN．

易知PA=t，AM=t，PM=t，DM=4﹣t，

∴S=t（4﹣t）=﹣t2+t．

如圖2中，當≤t＜5時，重疊部分是四邊形PNMF．

∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，

∴AC=AB，

易證PB=PE=5﹣t，PF=（5﹣t），PN=（5﹣t），

S=（5﹣t）（5﹣t）﹣（5﹣t）（5﹣t）=（5﹣t）2．

（3）①如圖3中，PF交AC于G．

當S△PFQ：S△PEQ=1：2時，

∴S△PEQ：S△PEF=2：3，

∴PEPG： PEPF=2：3，

∴PG：PF=2：3，

∴t： （5﹣t）=2：3．

∴t=，即AP=．

如圖4中，當S△PFQ：S△PEQ=2：1時，

∴S△PEQ：S△PEF=1：3，

∴PEPG： PEPF=1：3，

∴PG：PF=1：3，

∴t： （5﹣t）=1：3．

∴t=，即AP=，

∴AP的值為或．

②如圖5中，當PQ的垂直平分線經過當A時．

易知四邊形APEQ時菱形，

∴PE=PA，即t=5﹣t，

∴t=．

如圖6中，當PQ的垂直平分線經過點B時，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．

易知四邊形PENG時矩形，四邊形DMEN時矩形，

∴PG=EN=t，EM=DN=PE﹣PM=（5﹣t），

QN=EN=t，

∴QD=t﹣（5﹣t）=t﹣1，

在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，

∴（5﹣t）2=32+（t﹣1）2，

∴t=．

綜上所述，t=s或s時，PQ的垂直平分線過△ABC的頂點．