Question

【題目】（2017黑龍江省哈爾濱市，第26題，10分）已知：AB是⊙O的弦，點C是的中點，連接OB、OC，OC交AB于點D．

（1）如圖1，求證：AD=BD；

（2）如圖2，過點B作⊙O的切線交OC的延長線于點M，點P是上一點，連接AP、BP，求證：∠APB﹣∠OMB=90°；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DP、MP，延長MP交⊙O于點Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1，連接OA，利用垂徑定理和圓周角定理可得結論；

（2）如圖2，延長BO交⊙O于點T，連接PT，由圓周角定理可得∠BPT=90°，易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，利用切線的性質定理和垂徑定理可得∠ABO=∠OMB，等量代換可得∠ABO=∠APT，易得結論；

（3）如圖3，連接MA，利用垂直平分線的性質可得MA=MB，易得∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射線MG上截取MN=MP，連接PN，BN，易得△APM≌△BNM，由全等三角形的性質可得AP=BN，∠MAP=∠MBN，延長PD至點K，使DK=DP，連接AK、BK，易得四邊形APBK是平行四邊形，由平行四邊形的性質和平行線的性質可得∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，易得∠NBP=∠KBP，可得△PBN≌△PBK，PN=2PH，利用三角函數的定義可得sin∠PMH=，sin∠ABO=，設DP=3a，則PM=5a，可得結果．

（1）如圖1，連接OA，

∵C是的中點，

∴，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OA=OB，

∴OD⊥AB，AD=BD；

（2）如圖2，延長BO交⊙O于點T，連接PT．

∵BT是⊙O的直徑，

∴∠BPT=90°，

∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，

∵BM是⊙O的切線，

∴OB⊥BM，

又∵∠OBA+∠MBA=90°，

∴∠ABO=∠OMB．

又∵∠ABO=∠APT，

∴∠APB﹣90°=∠OMB，

∴∠APB﹣∠OMB=90°；

（3）如圖3，連接MA，

∵MO垂直平分AB，∴MA=MB，

∴∠MAB=∠MBA，

作∠PMG=∠AMB，在射線MG上截取MN=MP，連接PN，BN，則∠AMP=∠BMN，

∴△APM≌△BNM，

∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，延長PD至點K，使DK=DP，連接AK、BK，

∴四邊形APBK是平行四邊形；

∵AP∥BK，

∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，

由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，

∴∠APB+∠MBA=180°，∴∠PBK=∠MBA，

∴∠MBP=∠ABK=∠PAB，

∴∠MAP=∠PBA=∠MBN，

∴∠NBP=∠KBP，∵PB=PB，

∴△PBN≌△PBK，

∴PN=PK=2PD，過點M作MH⊥PN于點H，

∴PN=2PH，∴PH=DP，∠PMH=∠ABO，

∵sin∠PMH=，sin∠ABO=，

∴=，

∴=，設DP=3a，則PM=5a，∴MQ=6DP=18a，

∴=．