Question

【題目】中國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”，奠定了中國圓周率計算在世界上的領先地位．劉徽提出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，由此求得圓周率的近似值．如圖，設半徑為的圓內接正邊形的周長為，圓的直徑為，當時，，則當時，______．（結果精確到0.01，參考數據：，）

Answer 1

【答案】3.11

【解析】

圓的內接正十二邊形被半徑分成頂角為30°的十二個等腰三角形，作輔助線構造直角三角形，根據中心角的度數以及半徑的大小，求得C＝24r·sin15°，d＝2r，進而得到答案．

解：如圖，圓的內接正十二邊形被半徑分成12個如圖所示的等腰三角形，其頂角為30°，即∠AOB＝30°，

作OH⊥AB于點H，則∠AOH＝15°，

∵AO＝BO＝r，

在Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin15°＝，

∴AH＝r·sin15°，AB＝2AH＝2r·sin15°，

∴C＝12·2r·sin15°＝24r·sin15°，

又∵d＝2r，

∴，

故答案為：3.11．