Question

5．已知矩形ABCD中，AD=6，∠ACB=30°，將△ACD繞點C順時針旋轉得到△EFG，使點D的對應點G落在BC延長線上，點A對應點為E點，C點對應點為F點，F點與C點重合（如圖1），此時將△EFG以每秒1個單位長度的速度沿直線CB向左平移，直至點G與點B重合時停止運動，設△EFG運動的時間為t（t＞0）．
（1）當t為何值時，點D落在線段EF上？
（2）設在平移過程中△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍；
（3）在平移過程中，當點G與點B重合時（如圖2），將△CBA繞點B逆時針旋轉得到△C₁A₁B，直線EF與C₁A₁所在直線交于P點，與C₁B所在直線交于點Q．在旋轉過程中，△ABC的旋轉角為α（0°＜α＜180°），是否存在這樣的α，使得△C₁PQ為等腰三角形？若存在，請寫出α的度數，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數求出線段CD，延長AD交EF于點H，利用三角函數即可求出線段DH長度，再除以運動速度即為運動時間；
（2）分五種情況進行討論，求出重合面積，寫出S關于t的函數關系式即可；
（3）通過分析△C₁PQ為等腰三角形，分析等腰情況，分別求出對應角度即可．

解答 解：（1）∵AD=BC=6，∠ACB=30°，
∴AB=DF=6×tan30°=2$\sqrt{3}$，
延長AD交EF于點H，如下圖：
∵△ACD繞點C順時針旋轉得到△EFG，

∴∠DFH=30°，
∴DH=DF×tan30°=2，
∵△EFG以每秒1個單位長度的速度沿直線CB向左平移，2÷1=2秒，
∴當t=2時，點D落在線段EF上．

（2）當0＜t≤2時，S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²，
當2＜t≤2$\sqrt{3}$時，S=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
當2$\sqrt{3}$＜t≤6時，S=12-2$\sqrt{3}$，
當6＜t≤8時，S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t-20$\sqrt{3}$+12，
當8＜t＜6+2$\sqrt{3}$時，S=-2$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$+12，

（3）30°、120°、165°．
∵△C₁PQ為等腰三角形，
當PQ=PC′，如下圖：

則∠Q=∠C′=30°，
∴∠EPC′=60°，
∵∠E=30°，
∴∠A′B′E=30°，
∴α=30°．
同理：當PQ=QC′，PC′=QC′，α=120°、165°．
∴△C₁PQ為等腰三角形，旋轉角為30°、120°、165°．

點評 題目考查了幾何圖形的綜合變換，解決此類問題的關鍵分析圖形的變換情況，在變換過程中，分析變量和不變量，題目整體較難，適合學生壓軸訓練．