Question

10．如圖1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE=90°，CD=CE；點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、BE，點N是線段BE的中點，連接CN與AD交于點G．

（1）若CN=6.5，CE=5，求BD的值．
（2）求證：CN⊥AD．
（3）把等腰Rt△DCE繞點C轉至如圖2位置，點N是線段BE的中點，延長NC交AD于點H，請問（2）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的性質得到BE=2CN=13，根據勾股定理得到BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=12，即可得到結論；
（2）根據已知條件推出△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質得到∠CAD=∠CBE，由直角三角形的性質得到CN=BN，根據等腰三角形的性質得到∠CBE=∠NCD，等量代換得到∠NCD=∠CAD，即可得到結論；
（3）如圖2，延長CN到F使FN=CN，連接BF，通過△CEN≌△BNF，得到CE=BF，∠F=∠ECN，推出∠CBF=∠DCA，證得△ACD≌△BCF，根據全等三角形的性質得到∠DAC=∠BCF，等量代換即可得到結論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，點N是線段BE的中點，
∴BE=2CN=13，
∵CE=5，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=12，
∵CD=CE=5，
∴BD=BC-CD=7；

（2）在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=90°，點N是線段BE的中點，
∴CN=BN，
∴∠CBE=∠NCD，
∴∠NCD=∠CAD，
∵∠NCD+∠NCA=90°，
∴∠CAG+∠GCA=90°，
∴∠CGA=90°，
∴CN⊥AD；

（3）（2）中的結論還成立，如圖2，延長CN到F使FN=CN，連接BF，
在△CEN與△BFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=FN}\\{∠CNE=∠BNF}\\{EN=BN}\end{array}\right.$，
∴△CEN≌△BNF，
∴CE=BF，∠F=∠ECN，
∵∠CBF=180°-∠F-∠BCF，∠DCA=360°-∠DCE-∠ACB-∠BCE=180°-∠ECF-∠BCF，
∴∠CBF=∠DCA，
∵CE=CD，
∴BF=CD，
在△ACD與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BF}\\{∠ACD=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF，
∴∠DAC=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACH=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CN⊥AD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，三角形的面積公式，正確的作出輔助線是解題的關鍵．