Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+ +c經過原點O和A（4，2），與x軸交于點C，點M、N同時從原點O出發，點M以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運動，點N以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，當其中一個點停止運動時，另一點也隨之停止．

（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）在點M、N運動過程中，
①若線段MN與OA交于點G，試判斷MN與OA的位置關系，并說明理由；
②若線段MN與拋物線相交于點P，探索：是否存在某一時刻t，使得以O、P、A、C為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意，A點坐標為（4，2），O點坐標為（0，0），

代入解析式得

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ ；

令y=0，則有0=﹣ x2+ ，

解得x1=0，x2=6，

故點C坐標為（6，0）

（2）

解：①MN⊥OA，

理由如下：過點A作AB⊥x軸于點B，則OB=4，AB=2

由已知可得： ，

∴Rt△MON∽Rt△OBA，

∴∠AOB=∠NMO，

∵∠NMO+∠MNO=90°，∴∠AOB+∠MNO=90°，

∴∠OGN=90°，∴MN⊥OA，

②存在

設點P的坐標為（x，y），依題意可得：當點P是點A關于拋物線對稱軸的對稱點時，四邊形APOC為等腰梯形．

則點P坐標為（2，2），及M（0，2t），N（t，0）

設直線MN的解析式為y=kx+2t

將點N、P的坐標代入得

，

解得： （不合題意舍去）， ，

所以，當t=3秒時，四邊形OPAC是等腰梯形．

【解析】（1）利用待定系數法將A點坐標為（4，2），O點坐標為（0，0），代入求出二次函數解析式即可，進而利用y=0，求出圖象與x軸交點坐標，即可得出C點坐標；（2）①過點A作AB⊥x軸于點B，則OB=4，AB=2，進而得出Rt△MON∽Rt△OBA，即可求出MN⊥OA；
②依題意可得：當點P是點A關于拋物線對稱軸的對稱點時，四邊形APOC為等腰梯形，得出P點坐標，及M（0，2t），N（t，0）設直線MN的解析式為y=kx+2t，將點N、P的坐標代入得求出t的值即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．