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【題目】在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=mx2m+nx+nm0)的圖象與y軸正半軸交于A點.

1)求證:該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點;

2)設該二次函數的圖象與x軸的兩個交點中右側的交點為點B,若∠ABO=45°,將直線AB向下平移2個單位得到直線l,求直線l的解析式;

3)在(2)的條件下,設Mp,q)為二次函數圖象上的一個動點,當﹣3p0時,點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方,求m的取值范圍.

【答案】1)該二次函數的圖象與軸必有兩個交點;(2y=﹣x﹣1;(3m的取值范圍為:m0

【解析】試題分析:(1)直接利用根的判別式,結合完全平方公式求出的符號進而得出答案;

2)首先求出B,A點坐標,進而求出直線AB的解析式,再利用平移規律得出答案;

3)根據當﹣3p0時,點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方,當p=0時,q=1;當p=﹣3時,q=12m+4;結合圖象可知:12m+4≤2,即可得出m的取值范圍.

試題解析:(1)令mx2m+nx+n=0,則△=m+n2﹣4mn=m﹣n2

二次函數圖象與y軸正半軸交于A點,∴A0n),且n0

∵m0,∴m﹣n0∴△=m﹣n20,

該二次函數的圖象與軸必有兩個交點;

2)令mx2m+nx+n=0,解得:x1=1x2=,由(1)得0,故B的坐標為(1,0),

又因為∠ABO=45°

所以A0,1),即n=1,

則可求得直線AB的解析式為:y=﹣x+1

再向下平移2個單位可得到直線ly=﹣x﹣1

3)由(2)得二次函數的解析式為:y=mx2m+1x+1

∵Mp,q) 為二次函數圖象上的一個動點,

∴q=mp2m+1p+1

M關于軸的對稱點M′的坐標為(p,﹣q).

∴M′點在二次函數y=﹣m2+m+1x﹣1上.

﹣3p0時,點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方,

p=0時,q=1;當p=﹣3時,q=12m+4;

結合圖象可知:12m+4)<2,解得:m

∴m的取值范圍為:m0

練習冊系列答案
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