Question

如圖，拋物線的頂點為D，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且OB=2OC=3．
（1）求a，b的值；
（2）將45°角的頂點P在線段OB上滑動（不與點B重合），該角的一邊過點D，另一邊與BD交于點Q，設P（x，0），y₂=DQ，試求出y₂關于x的函數關系式；
（3）在同一平面直角坐標系中，兩條直線x=m，x=m+分別與拋物線y₁交于點E，G，與y₂的函數圖象交于點F，H．問點E、F、H、G圍成四邊形的面積能否為？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OB=2，OC=，
∴拋物線y₁=ax²-2ax+b經過B（3，0），C（0，）兩點，
∴，
∴
∴拋物線的解析式為y₁=-x²+x+．

（2）作DN⊥AB，垂足為N．（如下圖1）
由y₁=-x²+x+易得D（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，DN=BN=2，DB=2，
∠DBN=45°．根據勾股定理有BD ²-BN ²=PD ²-PN ²．
∴（2）²-2²=PD²-（1-x）²①
又∵∠DPQ=45°=∠DBP，
∴△PQD∽△BPD
∴PD²=DQ×DB=y₂×2②．
由①②得y₂=x²-x+．
∵0≤x＜3，
∴y₂與x的函數關系式為y₂=x²-x+=（x-1）²+2（0≤x＜3）．
（自變量取值范圍沒寫，不扣分）

（3）假設E、F、H、G圍成四邊形的面積能為 （如圖2）
∵點E、G是拋物線y₁=-x²+x+=- （x-1）²+2（分別與直線x=m，x=m+的交點
∴點E、G坐標為 E（m，-（m-1）²+2），G（m+，-（m-1）²+2）．
同理，點F、H坐標 為F（m，（m-1）²+2），H（m+，-（m-）²+2）．
∴EF=-（m-1）²+2-[-（m-1）²+2]=（m-1）²
GH=（m-）²+2-[-（m-）²+2]=（m-）²．
∵四邊形EFHG是平行四邊形或梯形，
∴S=[（m-1）²+（m-）²]×=
化簡得16m²-24m+5=0
解得，m=或（都在0≤x≤3內）
所以，當，m=或時，E、F、H、G圍成四邊形的面積為．
分析：（1）由已知，OB=2，OC=3可得，拋物線y₁=ax²-2ax+b經過B（3，0），C（0，）兩點，利用待定系數法求得二次函數解析式中的未知數的值即可確定其解析式；
（2）作DN⊥AB，垂足為N．首先根據拋物線的解析式求得D、N、A、B的坐標然后轉化為線段的長利用勾股定理得到有關x的關系式即可確定y₂的解析式；
（3）假設E、F、H、G圍成四邊形的面積能為，從假設出發求得m的值就說明存在，否則就不存在．
點評：本題考查了二次函數的應用，此類題目往往是中考題的壓軸題，特別是存在型問題更是最近幾年中考題的一個熱點問題．