Question

【題目】已知四邊形是菱形，點分別在上，且，點分別在上，與相交于點．

(1)如圖1，求證：四邊形是菱形；

(2)如圖2，連接，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出面積相等的四邊形

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形MBFE與四邊形DNEG，四邊形MBCG與四邊形DNFC，四邊形ABFE與四邊形ADGE，四邊形ABFN與四邊形ADGM．

【解析】

（1）由MG∥AD，NF∥AB，可證得四邊形AMEN是平行四邊形，又由四邊形ABCD是菱形，BM＝DN，可得AM＝AN，即可證得四邊形AMEN是菱形；
（2）根據四邊形AMEN是菱形得到ME=NE，S△AEM＝S△AEN，作出輔助線，證明△MHB≌△NKD（AAS），得到MH=NK，從而得到S四邊形MBFE＝S四邊形DNEG，繼而求得答案．

（1）證明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四邊形AMEN是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵BM＝DN，
∴ABBM＝ADDN，
∴AM＝AN，
∴四邊形AMEN是菱形；
（2）解：∵四邊形AMEN是菱形，

∴ME=NE，∴S△AEM＝S△AEN，

如圖所示，過點M作MH⊥BC于點H，過點N作NK⊥CD于點K，

∴∠MHB=∠NKD=90°

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，

∵BM=DN，

∴△MHB≌△NKD（AAS），

∴MH=NK

∴S四邊形MBFE＝S四邊形DNEG，

∴S四邊形MBCG＝S四邊形DNFC，S四邊形ABFE＝S四邊形ADGE，S四邊形ABFN＝S四邊形ADGM．

∴面積相等的四邊形有：四邊形MBFE與四邊形DNEG，四邊形MBCG與四邊形DNFC，四邊形ABFE與四邊形ADGE，四邊形ABFN與四邊形ADGM．