Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AC為直徑，，DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：CD平分∠ACE；

（2）判斷直線ED與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若CE=2，AC=8，陰影部分的面積為 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線ED與⊙O相切，見解析；（3）

【解析】

（1）根據圓周角定理，由，得到∠BAD=∠ACD，再根據圓內接四邊形的性質得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE，即可證明CD平分∠ACE；

（2）連結OD，如圖，利用內錯角相等證明OD∥BC，而DE⊥BC，則OD⊥DE，于是根據切線的判定定理可得DE為⊙O的切線；

（3）作OH⊥BC于H，易得四邊形ODEH為矩形，所以OD=EH=4，則CH=HECE=2，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根據扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=S扇形OCDS△OCD進行計算即可求得結果．

（1）證明：，

，

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴，

，

，

，即CD平分∠ACE；

（2）解：直線ED與⊙O相切，理由如下：

連接OD，

，

，

，

∴OD∥BC，

，

，

直線ED與⊙O相切；

（3）解：作OH⊥BC于H，則四邊形ODEH為矩形，

∴OD=EH，

∵CE=2，AC=8，

∴OD=OC，

則，CH=HECE=2，

在中，，則

∴，

∴陰影部分的面積=S扇形OCDS△OCD

，

故答案為：．