Question

【題目】在等腰△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB，AC相交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）分別延長CB，FD，相交于點G，∠A=60°，⊙O的半徑為6，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖所示：

∵AC=BC，OB=OD，

∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，

∴∠A=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴ABC=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等邊三角形，

∴∠BOD=60°，

∵DF⊥OD，

∴∠ODG=90°，

∴∠G=30°，

∴OG=2OD=2×6=12，

∴DG= OD=6 ，

∴陰影部分的面積=△ODG的面積﹣扇形OBD的面積= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π

【解析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質證出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，證出DF⊥OD，即可得出結論；（2）證明△OBD是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性質得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6 ，陰影部分的面積=△ODG的面積﹣扇形OBD的面積，即可得出答案．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和扇形面積計算公式的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．