Question

【題目】（8分）如圖，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的頂點D、F分別在AC、BC邊上，C、D兩點不重合，設CD的長度為x，△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y，

(1)求y與x之間的函數關系

(2)x為何值時重疊部分的面積最大

Answer 1

【答案】（1） （2）2

【解析】試題分析：（1）分類討論：當0<x≤1時，根據正方形的面積公式得到y=x2；當1<x≤2時，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重疊的面積等于正方形的面積減去等腰直角三角形MNE的面積得到y=x2-2（x-1）2，配方得到y=-（x-2）2+2；

（2）當0<x≤1時，y=x2，的最大值是1，當1<x≤2時，y=-（x-2）2+2的最大值是2，綜合得當x=2時，y有最大值為2.

試題解析：（1）當0＜x≤1時，y=x2，當1＜x≤2時，ED交AB于M，EF交AB于N，如圖，

CD=x，則AD=2﹣x，

∵Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴△ADM為等腰直角三角形，

∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，

∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，

∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，

∴；

（2），

當0<x≤1時，y=x2，的最大值是1，當1<x≤2時，y=-（x-2）2+2的最大值是2，綜合得當x=2時，y有最大值為2.