Question

【題目】如圖，已知四邊形中，，，且，，對角線．

求證：四邊形是矩形；

如圖，若動點從點出發，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，同時動點從點出發，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，運動時間為秒，連接、，若，求的值；

如圖，若點在對角線上，，動點從點出發，以每秒的速度沿運動至點止．設點運動了秒，請你探索：從運動開始，經過多少時間，以點、、為頂點的三角形是等腰三角形？請求出所有可能的結果．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）從運動開始，經過秒或秒或秒時，以點、、為頂點的三角形是等腰三角形．

【解析】

（1）先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據∠B=90°，得出四邊形ABCD是矩形；
（2）先過Q作QM⊥BC于M點，AP與BQ交于點N，判定△ABP∽△BMQ，得出=，即=，求得t的值即可；
（3）分為三種情況討論：當CQ=CP=4cm時，當PQ=CQ=4cm時，當QP=CP時，分別根據等腰三角形的性質，求得BP的長，進而得到t的值．

證明：∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，，，

∴，，

∴，

∴，

∴四邊形是矩形；

如圖，過作于點，與交于點，則

，，，，

∵，，

∴，且，

∴，

∴，即，

解得；

分為三種情況：

①如圖所示，當時，，

∴秒；

②如圖所示，當時，過作于，則

，

∴，即，

解得，

∵，，

∴，

∴，

∴秒；

③如圖所示，當時，過作于，則

，，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

∴秒．

綜上所述，從運動開始，經過秒或秒或秒時，以點、、為頂點的三角形是等腰三角形．