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【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為中垂三角形”. 如圖1,圖2,圖3中,的中線,,垂足為點,像這樣的三角形均為中垂三角形. .

1)如圖1,當時,則_________,__________;

2)如圖2,當時,則_________,__________

歸納證明

3)請觀察(1)(2)中的計算結果,猜想三者之間的關系,用等式表示出來,并利用圖3證明你發現的關系式;

拓展應用

4)如圖4,在中,分別是的中點,且. ,,求的長.

【答案】1 ,;(2,;(3,證明見解析;(4

【解析】

1)根據三角形的中位線得出;,進而得到計算即可得出答案;

2)連接EF,中位線的性質以及求出APBP、EPFP的長度再根據勾股定理求出AEBF的長度即可得出答案;

3)連接EF,根據中位線的性質得出,根據勾股定理求出AEAPEP的關系以及BFBPFP的關系,即可得出答案;

4)取的中點,連接,結合題目求出四邊形是平行四邊形得出APFP即可得到中垂三角形,根據第三問得出的結論代入,即可得出答案(連接,交于點,證明求得的中線,進而得出中垂三角形,再結合第三問得出的結論計算即可得出答案).

解:(1)∵的中線,∴的中位線,

,且,易得.

,

,∴.

由勾股定理,得,

.

2)如圖2,連結.

的中線,

的中位線,

,且,易得.

. ,

.

由勾股定理,得

.

3之間的關系是.

證明如下:如圖3,連結.

的中線,

的中位線.

,且,

易得.

中,

,

.

.

,

.

4)解法1:設的交點為. 如圖4,取的中點,連接.

分別是的中點,的中點,

.

又∵

.

∵四邊形是平行四邊形,

,

∴四邊形是平行四邊形,

,

中垂三角形,

,即

解得.

(另:連接,交于點,易得中垂三角形,解法類似于解法1,如圖5

解法2:如圖6,連接,延長的延長線于點.

中,∵分別是的中點,

.

.

又∵四邊形為平行四邊形,

,

易得,

,

,

的中線,

中垂三角形,

.

.

,

解得.

的中位線,

.

練習冊系列答案
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