Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，，射線為半圓的切線．在上取一點，連接交半圓于點，連接．過點作，垂足為點，與相交于點．過點作半圓的切線，切點為，與相交于點．

（1）求證：；

（2）當與的面積相等時，求的長；

（3）求證：當在上移動時（點除外），點始終是線段的中點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）見解析．

【解析】

（1）證明，再證明，即可得到結論；

（2）證明，結合與的面積相等，得到，再證明四邊形是正方形，可得結論；

（3）由得：，過點作，垂足為．利用，得到，從而可得結論．

證明：（1）是半圓的直徑

，即

又，

為半圓的切線

，

（2）為半圓的切線，

由（1）知，得

當與的面枳相等時，，得

，

連接，

又，是半圓的切線，

，

四邊形是正方形，

四邊形是矩形，

故

（3）由（2）知，

，即： …… ①

是半圓的切線

，

過點作，垂足為．

在中：，

則有，

化簡得：…… ②

由①，②得

即：在上移動時（點除外），點始終是線段的中點．