Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，經過點的拋物線上有一動點，且點在直線的下方.

（1）平移直線經過點，得到直線，點為直線上一個動點，連接，當面積最大時，求的最小值.

（2）平移直線經過原點，得到直線，點是直線上一點，且點橫坐標為6，點在軸上，點在軸上，當時，拋物線上是否存在點，使四邊形是矩形？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為；（2）點的坐標為或.

【解析】

（1）設，根據列出函數關系式求出當的面積有最大值時，，求出直線的解析式，過點作軸，易得，然后根據相似三角形的性質得，進而可求出結論；

（2）過作軸，軸，易得且相似比為1：3.然后分點在點的左側時和點在點的右側時兩種情況求解即可.

（1）設，

，

當時，的面積有最大值.

，

平移直線得到直線，且過點，

易得直線.

過點作軸，

易得，

，

，

.

由圖知，，，

當軸時，，重合，

此時有最小值等.

的最小值為.

（2）過作軸，軸，

直線平移后過原點得到直線，

直線，代入.

點坐標為，，.

，

易得且相似比為1：3.

如圖乙所示，

點在點的左側時，設，則.

，

.

.

四邊形為矩形，

，，

，，

，.

將點的坐標代入拋物線的解析式得，

，

解得：，（舍去）.

，

如圖丙所示：點在點的右側時，設，

則.

，

.

.

四邊形為矩形，

，，

，，

，.

將點的坐標代人拋物線的解析式得，

，

解得：（舍去）或.

.

綜上所述，

點的坐標為或.