Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點，直線FA⊥x軸于點A，點D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，連接DM并延長交x軸于點C．

（1）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并給出證明；

（2）設點D的坐標為(－2，4)，試求經過D、O、C三點的拋物線的解析式．

（3）若坐標平面內的點P，使得以點P和三點D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=x2-x；（3）P1（-，4），P2（，4），P3（，-4）

【解析】

(1)連接OM，根據DO∥MB即可證得△AOD≌△MOD，從而得出∠OMD=∠OAD，因為DA⊥OA，即可得OM⊥CD；

(2) 設MC=x，可證得△OMC∽△DAC，利用相似三角形的性質得出OC=2x-2，利用勾股定理即可列出方程即可求解；

(3)要使以點P和三點D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，則分三種情況討論：①當DP∥OC，DC為對角線時，②當PD∥OC，DO為對角線時，③當DC∥OP，OC為對角線時，根據每種情況求解即可.

（1） 直線DC與⊙O相切．證明如下：

如圖，連接OM，則OM=OB，

∴∠OMB=∠OBM．

∵DO∥MB，

∴∠AOD=∠OBM， ∠MOD=∠OMB，

∴∠AOD=∠MOD．

又∵OA=OM，OD=OD，

∴△AOD≌△MOD，

∴∠OMD=∠OAD．

而DA⊥OA，

∴∠OAD=90°，

∴∠OMD=90°，即OM⊥CD，

∴直線DC與⊙O相切．

（2）設MC=x．

∵∠OMC=∠DAC=90°，∠OCM=∠DCA,

∴△OMC∽△DAC，

∴=．

∵OM=OA=2，DA=4，AC=OA+OC=2+OC，

∴=，

∴OC=2x-2．

在Rt△OMC中，

∵OM2+MC2=OC2，

∴22+x2=(2x-2)2，

解得x1=，x2=0(舍去)，

∴OC=2×-2=，

∴C（，0）．

因為拋物線經過坐標原點O，所以c=0，可設拋物線的解析式為y=ax2+bx，將（-2，4），（，0）代入，得

解之，得．

∴y=x2-x．

（3）①當DP∥OC，DC為對角線時

∵D (－2，4)，C（，0），

∴AO=OB=2，OC=

∴P1（，4）

②當PD∥OC，DO為對角線時

∵DP2=OC=

∴P2（-，4）

③當DC∥OP，OC為對角線時

同理可得P3（，-4）．

故P點坐標為：P1（，4），P2（-，4），P3（，-4）