Question

【題目】如圖，拋物線y1＝ax2+bx+與x軸交于點A（﹣3，0），點B，點D是拋物線y1的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為點C（﹣1，0）．

（1）求拋物線y1所對應的函數解析式；

（2）如圖1，點M在拋物線y1上，橫坐標為m，連接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值；

（3）如圖2，將拋物線y1平移后得到頂點為B的拋物線y2．點P為拋物線y1上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線y2于點Q，過點Q作x軸的平行線，交拋物線y2于點R．當以點P，Q，R為頂點的三角形與△ACD全等時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）m的值為或﹣2+；（3）P點坐標為（0，）或P（2，﹣）．

【解析】

(1)根據A、C兩點的坐標用待定系數法求出解析式；

(2)如圖，當M點在x軸上方時，若∠M1CB＝∠DAC，則DA∥CM1，先求直線AD的解析式，由點C的坐標可求出直線CM1的解析式，聯立直線和拋物線方程可求出點M1的坐標，當點M在x軸下方時，由軸對稱的性質可求出直線CM2的解析式，同理聯立直線和拋物線方程則求出點M的坐標；

(3)先求出y2的解析式，可設出點P坐標，表示Q、R坐標及PQ、QR，根據以P，Q，R為頂點的三角形與△ACD全等，分類討論對應邊相等的可能性即可求P點坐標．

(1)由題意得：，解得，

拋物線y1所對應的函數解析式為；

(2)當x＝﹣1時，y＝=1，

∴D(﹣1，1)，

設直線AD的解析式為y＝kx+n，

∴，解得：，

∴直線AD的解析式為y＝x+，

如圖，①當M點在x軸上方時，

∵∠M1CB＝∠DAC，

∴DA∥CM1，

設直線CM1的解析式為y＝x+b1，

∵直線經過點C，

∴-+b1=0，解得：b1=，

∴直線CM1的解析式為y＝x+，

∴ ，

解得：x=-2+，x=-2-(舍去)，

∴m＝﹣2+，

②當點M在x軸下方時，直線CM2與直線CM1關于x軸對稱，

由軸對稱的性質可得直線CM2的解析式為y＝-x-，

∴，解得：x=或x＝﹣(舍去)，

∴m=，

綜合以上可得m的值為或﹣2+；

(3)∵拋物線y1平移后得到y2，且頂點為B(1，0)，

∴，

即y2=，

設P(m，)，則Q(m，)，

∴R(2﹣m，)，

①當P在Q點上方時，

PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m，

∵△PQR與△ACD全等，

∴當PQ＝DC且QR＝AC時，m＝0，

∴P(0，)，R(2，﹣)，

當PQ＝AC且QR＝DC時，無解；

②當點P在Q點下方時，

同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，

m﹣1＝1，

∴m＝2，

則P(2，)，R(0，﹣)，

綜合可得P點坐標為(0，)或P(2，)．