Question

【題目】如圖，已知⊙O是以BC為直徑的△ABC的外接圓，OP∥AC，且與BC的垂線交于點P，OP交AB于點D，BC、PA的延長線交于點E．

（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若sinE＝，PA＝6，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先利用平行線的性質得到∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，加上∠ACO=∠CAO，則∠POA=∠POB，于是可根據“SAS”判斷△PAO≌△PBO，則∠PAO=∠PBO=90°，然后根據切線的判定定理即可得到PA是⊙O的切線；

（2）先由△PAO≌△PBO得PB=PA=6，在Rt△PBE中，利用正弦的定義可計算PE=10，則AE=PE-PA=4，再在Rt△AOE中，由sinE=，可設OA=3t，則OE=5t，由勾股定理得到AE=4t，則4t=4，解得t=1，所以OA=3；接著在Rt△PBO中利用勾股定理計算出OP=3，然后證明△EAC∽△EPO，再利用相似比可計算出AC．

（1）證明：連接OA，如圖，

∵AC∥OP，

∴∠ACO＝∠POB，∠CAO＝∠POA，

又∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠POA＝∠POB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO＝∠PBO，

又∵PB⊥BC，

∴∠PBO＝90°，

∴∠PAO＝90°，

∴OA⊥PE，

∴PA是⊙O的切線；

（2）解：∵△PAO≌△PBO，

∴PB＝PA＝6，

在Rt△PBE中，∵sinE＝

∴，解得PE＝10，

∴AE＝PE﹣PA＝4，

在Rt△AOE中，sinE＝，

設OA＝3t，則OE＝5t，

∴AE＝＝4t，

∴4t＝4，解得t＝1，

∴OA＝3，

在Rt△PBO中，∵OB＝3，PB＝6，

∴OP＝，

∵AC∥OP，

∴△EAC∽△EPO，

∴，即，

∴AC＝．