Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，點D在弧BC上，BD、AC的延長線交于點K，連接CD．

（1）求證：∠AKB﹣∠BCD＝45°；

（2）如圖2，若DC＝DB時，求證：BC＝2CK；

（3）在（2）的條件下，連接BC交AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F，延長CF交AB于點G，連接GE，若GE＝5，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CD＝6．

【解析】

（1）連接AD，先證△ABC是等腰直角三角形得∠CAB＝∠CBA＝45°，設∠CBK＝∠DAC＝α，則∠DAB＝∠DCB＝45°α，∠K＝90°α，據此可得；

（2）過點C作CH⊥AD，先證△EBD≌△EHC可得CE＝BE＝BC，再證△ACE≌△BCK得CK＝CE，從而得證；

（3）證CG∥BD知∠GCB＝∠CBD＝∠CAD，由CE＝BE＝BC＝AC知tan∠GCB＝tan∠CAD＝，據此設GH＝BH＝a，則CH＝2a、BC＝3a、BE＝a、EH＝a，在Rt△EGH中利用勾股定理可得a的值，即可知CE＝3，再根據tan∠GCB＝，可設EF＝x、CF＝2x，在Rt△CEF中利用勾股定理求得x的值即可得出答案．

（1）如圖1，連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵點C是的中點，

∴AC＝BC，

則△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

設∠CBK＝∠DAC＝α，

則∠DAB＝∠DCB＝45°﹣α，∠K＝90°﹣α，

∴∠AKB﹣∠BCD＝45°；

（2）如圖1，過點C作CH⊥AD，

∵∠CDH＝∠CBA＝45°，

∴CD＝CH，

∵CD＝DB，

∴CH＝DB，

∵∠CEH＝∠BED、∠CHE＝∠BDE＝90°，

∴△EBD≌△EHC（AAS），

∴CE＝BE＝BC，

∵∠CAE＝∠CBK、∠ACE＝∠BCK、AC＝BC，

∴△ACE≌△BCK（ASA），

∴CK＝CE＝BE＝BC，

即BC＝2CK；

（3）如圖2，過點G作GH⊥BC于點H，則∠GHC＝90°，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵CG⊥AD于點F，

∴∠CFE＝∠ADB＝90°，

∴CG∥BD，

∴∠GCB＝∠CBD＝∠CAD，

∵∠ACE＝90°，CE＝BE＝BC＝AC，

∴tan∠GCB＝tan∠CAD＝，

∴，

∵∠ABC＝45°，∠GHB＝90°，

∴GH＝BH，

設GH＝BH＝a，則CH＝2a、BC＝3a，

∴BE＝a，EH＝a，

在Rt△EGH中，( a）2+a2＝52，

解得：a＝2（負值舍去），

∴CE＝3，

∵tan∠GCB＝ ，

∴，

設EF＝x、CF＝2x，

∴x2+（2x）2＝（3）2，

解得：x＝3（負值舍去），

∴CF＝6，

∵∠CDA＝∠CBA＝45°，

∴CD＝6．