Question

【題目】如圖，點 是以 為直徑的 上一點， 于點 ，過點 作 的切線，與 的延長線相交于點 ， 是 的中點，連接 并延長與 相交于點 ，延長 與 的延長線相交于點 ，且 ．

（1）求證：BF=EF；

（2）求；

（3）求的半徑r.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據AD∥EB得到△CAG∽△CEF，△CGD∽△CFB，根據相似三角形對應邊成比例即可得到結論；

（2）求出AH，FH的值，根據tan∠P=tan∠AFH===，即可解決問題；

（3）在Rt△ADO中利用勾股定理即可求出半徑．

(1)∵EB 是切線，AD⊥BC，

∴∠EBC=∠ADC=90°，

∴AD∥ EB，

∴△CAG∽△CEF，△CGD∽△CFB，

∴．

∵AG=GD，

∴EF=FB．

(2)連接AB．過點F作FH⊥AG交AG于點H．

∵BC 是直徑，

∴∠BAC=∠BAE=90°．

∵EF=FB，

∴FA=FB=FE=FG=3（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．

∵FA=FG，FH⊥AG，

∴AH=HG．

∵∠FBD=∠BDH=∠FHD=90°，

∴ 四邊形 FBDH 是矩形，

∴FB=DH=3．

∵AG=GD，

∴AH=HG=1，GD=2，FH=．

∵FH∥PD，

∴∠AFH=∠APD，

∴tanP=tan∠AFH=．

(3)設半徑為 r，在 Rt△ADO 中，

∵，

∴，

∴．