Question

【題目】如圖，Ｄ、Ｅ分別是△ＡＢＣ的邊ＢＣ、ＡＢ上的點，△ＡＢＣ，△ＢＤＥ，△ＡＣＤ的周長依次為， ， ．

（１）當∠２＝∠３，ＢＤ＝ＢＣ時，求的值；

（２）當∠１＝∠２，ＢＤ＝ＢＣ時，求的值；

（３）當∠１＝∠２＝∠３時，證明： ≤．

Answer 1

【答案】（１）＝；

（２）＝；

（３）證明見解析

【解析】【試題分析】（1）根據相似三角形的周長比等于相似比，即先證明兩個三角形相似，

△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ，得＝；

（2）∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，得△ＡＣＤ∽△ＢＣＡ，

由＝＝ 得＝＝，由ＢＤ＝ＢＣ，得ＤＣ＝ＢＣ，則＝；

（３）先證明△ＡＣＤ∽△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ．

根據相似三角形的性質得： ＝ ①＝＝②

由②得， ＝＝＝＝１－＝１－，

∴＝１－．

＝＋＝１－＋＝－＋＋１＝－，

∵－≤０，∴≤．

【試題解析】

（１）∵∠２＝∠３，∴ＤＥ∥ＡＣ，

∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ

∴＝，

由ＢＤ＝ＢＣ，得＝，

即＝；

（２）∵∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，

∴△ＡＣＤ∽△ＢＣＡ，

∴＝＝

∴＝＝，

由ＢＤ＝ＢＣ，得ＤＣ＝ＢＣ，

∴＝；

（３）證法一：由∠２＝∠３，得ＤＥ∥ＡＣ，

∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ；

∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，∴△ＡＣＤ∽△ＢＣＡ，

∴△ＡＣＤ∽△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ．

∴＝　　　　　　　　　　 ①

＝＝　　　　　　　�、�

由②得， ＝＝

＝＝１－＝１－，

∴＝１－．

＝＋＝１－＋

＝－＋＋１＝－，

∵－≤０，

∴≤．

證法二：由∠２＝∠３，得ＡＣ∥ＤＥ，∴△ＢＣＡ∽△ＢＤＥ．

∵∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，∴△ＢＣＡ∽△ＡＣＤ，

∴△ＢＣＡ∽△ＢＤＥ∽△ＡＣＤ．

∵△ＡＢＣ，△ＥＢＤ，△ＡＤＣ的周長為， ， ，

∴相似比為︰︰，

∴ＢＣ︰ＢＤ︰ＡＣ＝︰︰．

設＝＝＝，

則ＢＣ＝，ＢＤ＝，ＡＣ＝．

ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝（），由，得，

等式左邊的分子、分母同除以，

得，

設， ，

則，１－＝， ＝１－，

＝＋＝＋＝＋１－

＝－＋＋１＝－，

當＝時， 取得最大值，∴≤．

證法三：證明：由∠２＝∠３，得ＤＥ∥ＡＣ，

∴△ＥＢＤ∽△ＡＢＣ．設相似比為，由題意知，

０＜＜１．則＝＝＝＝．

∵∠２＝∠１，∠Ｃ是公共角，∴△ＤＡＣ∽△ＡＢＣ，

∴＝＝＝．

在△ＡＢＣ中，設ＡＢ＝，ＡＣ＝，ＢＣ＝，

由＝，得ＢＤ＝ＢＣ＝ ，ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝－ ．

由＝，得ＤＥ＝ＡＣ＝ ．

由△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ，得＝，

得，∴．

∵０＜＜１，∴１－＞０，∴＝ ．

∴＝＋＝＋

＝＝＝＋．

設＝，

則１－＝， ＝１－，

∴＝１－＋＝－＋＋１

＝－，

當＝時， 取得最大值，

∴≤．