Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB=∠ADB．
（1）求證：EA是⊙O的切線；
（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2．在（2）條件下，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB+∠EDC=90°，

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，

∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，

∴EA是⊙O的切線．

（2）證明：如圖2，連接BC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∴∠CBA=∠ABC=90°

∵B是EF的中點，

∴在RT△EAF中，AB=BF，

∴∠BAC=∠AFE，

∴△EAF∽△CBA．

（3）解：∵△EAF∽△CBA，

∴ = ，

∵AF=4，CF=2．

∴AC=6，EF=2AB，

∴ = ，解得AB=2 ．

∴EF=4 ，

∴AE= = =4 ，

【解析】（1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切線，（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中點，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，（3）由△EAF∽△CBA，可得出 = ，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．