Question

【題目】如圖，頂點為（1，4）的拋物線y=ax2+bx+c與直線y= x+n交于點A（2，2），直線y= x+n與y軸交于點B與x軸交于點C

（1）求n的值及拋物線的解析式
（2）P為拋物線上的點，點P關于直線AB的對稱軸點在x軸上，求點P的坐標
（3）點D為x軸上方拋物線上的一點，點E為軸上一點，以A、B、E、D為頂點的四邊為平行四邊形時，直接寫出點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A（2，2）代入 得n=1

設拋物線的解析式y=a（x﹣1）2+4代入點A（2，2），可得a=﹣2

所以拋物線的解析式y=2（x﹣1）2+4=﹣2x2+4x+2

（2）

解：如圖1．

設PP'與AC的交點為H，

作HM⊥x軸于M，作PN⊥HM與N

設 ，

∵點P'是點P關于AC的對稱點，

∴PH=P'H，

易得，△HNP≌△HMP'，

∴MH=NH，

∴NM=2NH，

∴﹣2x2+4x+2=m+2，

∴m=﹣2x2+4x①

∵直線AC的解析式為y= x+1，

∴B（0，1），C（﹣2，0），

∴OB=1，OC=2，

∵OB∥HM，

∴△COB∽△CMH，

∴ ，

∴CM=2MH，

易證，△HMP'∽△CMH，

∴ ，

∴ = ，

∴MH=2P'M=2PN

∴ ，

∴4x=3m﹣2②

聯立①②解得x=1或 ，

∴點P的坐標（1，4）或

（3）

解：設點E坐標為A（t，0），以AB為邊或對角線進行分類討論：

①如圖4，當AB是平行四邊行的邊時，AB∥DE，AB=DE

由于點B（0，1）先向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到A（2，2），

∴點D的坐標可以表示為D（t+2，1）

將D（t+2，1）代入y=2（x﹣1）2+4，得﹣2（t+1）2+4=1

解得 ，

此時 或 ，

②當AB是平行四邊形的對角線時，

設AB的中點 ，點E（t，0），

關于 的對稱點D的坐標可以表示為（2﹣t，3）

將D（2﹣t，3）代入y=﹣2（x﹣1）2+4，得﹣2（1﹣t）2+4=3

解得 ，

∴ 或 ．

【解析】（1）利用待定系數法先求出n的值，進而求出拋物線解析式（2）先利用對稱性判斷出MN=2NH，進而建立方程化簡得到m=﹣2x2+4x①，再判斷出△COB∽△CMH和△HMP'∽△CMH，判斷出MH=2PN，進而建立方程化簡得出4x=3m﹣2②聯立方程組求解即可；（3）分AB為平行四邊形的對角線和邊即可得出點E的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．