Question

如圖所示，已知△ACM和△CBN都是等邊三角形，點A、C、B在同一直線上，連接AN、MB．
（1）求證：AN=BM；
（2）若等邊三角形CBN繞頂點C順時針旋轉后（旋轉角α＜180°），此時AN與BM是否還相等？若相等，給出證明；若不相等，說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△ACM和△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，CB=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB（SAS）
∴AN=BM．

（2）解：AN與BM相等．
證明：旋轉角為α，
當0°≤α＜60°時，如下圖
∵△ACM和△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，CB=CN．
∠ACN=60°+∠MCN
∠MCB=60°+∠MCN
∠ACN=∠MCB．
∴△ACN≌△MCB．
∴AN=BM．
當α=60°時，A、C、N三點共線，M、C、B三點共線，
AN=AC+CN，BM=MC+CB=AC+CN
∴AN=BM．
當60°＜α＜180°時，如下圖，
∵△ACM和△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，CB=CN．
∠ACN=60°+∠ACB
∠MCB=60°+∠ACB
∠ACN=∠MCB
∴△ACN≌△MCB
∴AN=BM．
分析：（1）由△ACM和△CBN是等邊三角形，所以，AC=MC，CB=CN；∠ACM=∠NCB=60°，∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB=120°，求△ACN≌△MCB，得出結論；
（2）結合圖形做題．根據等邊三角形的性質求三角形全等再結合圖形做題．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；可圍繞結論尋找全等三角形，運用全等三角形的性質判定線段相等，進行分情況討論是正確解答本題的關鍵．