Question

4．在等邊△ABC中，點E是邊AB上一點，ED=EC
（1）求證：AE=BD；
（2）當EG=GC且AG=1.5時，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（2）過C作CH∥AB交AG的延長線于H，根據平行線的性質得到∠EAG=∠H，∠ABC=∠BCH=60°，推出△AEG≌△CGH，根據全等三角形的性質得到AE=CH，AG=GH=1.5，由（1）知BD=AE，證得△ABD≌△ACH，根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 （1）證明：如圖1，過點E作EF∥BC交AC于點F，如圖1所示：
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠EDB+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠ECF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD；

（2）如圖2，過C作CH∥AB交AG的延長線于H，
∴∠EAG=∠H，∠ABC=∠BCH=60°，
在△AEG與△HCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠H}\\{∠AGE=∠CGH}\\{EG=CG}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CGH，
∴AE=CH，AG=GH=1.5，
由（1）知BD=AE，
∴BD=CH，
∵∠ABD=∠ACH=120°，
在△ADB與△AHC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACH}\\{BD=CH}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH，
∴AD=AH=2AG=3．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，平行線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．