Question

12．如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA、PB，切點分別為A、B．
（1）連接AC，若∠APO=30°，試證明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①當$\widehat{ADB}$的長為$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$cm時，四邊形AOBD是菱形；
②當DP=（$\sqrt{2}$-1）cm時，四邊形AOBP是正方形．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AO，根據切線的性質得到∠PAO=90°，根據三角形內角和得到∠AOP=60°，根據等腰三角形的性質得到∠C=∠CAO=30°，即可得到結論；
（2）①由四邊形AOBD是菱形，得到AO=AD，由于AO=OD，推出△AOD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠AOD=60°，易得圓心角為120度或240度．根據弧長公式進行計算即可；
②當四邊形AOBP為正方形時，則有PA=OA，再結合切割線定理可求得PD，可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，連接AO，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∵∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO=30°，
∴∠C=∠APO，
∴△ACP是等腰三角形；

（2）如圖2，①∵四邊形AOBD是菱形，
∴AO=AD，
∵AO=OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
則∠AOB=120°，
∴$\widehat{ADB}$的長為：$\frac{120π×1}{180}$=$\frac{2π}{3}$或$\frac{240π×1}{180}$=$\frac{4π}{3}$
故答案是：$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$；
②當四邊形AOBP為正方形時，則有PA=AO=1cm，
∵PA為⊙O的切線，
∴PA²=PD•PC，且CD=2cm，
∴1=PD（PD+2），整理可得PD²+2PD-1=0，
解得PD=$\sqrt{2}$-1或PD=-$\sqrt{2}$-1（舍去），
∴PD=$\sqrt{2}$-1（cm），
∴當PD=（$\sqrt{2}$-1）cm時，四邊形AOBP為正方形；
故答案為：（$\sqrt{2}$-1）．

點評 本題考查了切線的性質，菱形的性質，含30°角的直角三角形的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．