Question

7．在等邊△ABC的外側作直線BM，點A關于直線BM的對稱點為D，連結AD，CD，設CD交直線BM于點E．

（1）依題意補全圖1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度數；
（2）如圖2，若60°＜∠ABM＜90°，判斷直線BM和CD相交所成的銳角的度數是否為定值？若是，求出這個銳角的度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以作出相應的圖形，連接BD，由題意可得到四邊形ADBC是菱形，根據菱形的對角線平分每一組對角，可以得到∠BCE的度數；
（2）畫出相應的圖形，根據對稱的性質可以得到相等的線段和相等的角，由等邊△ABC，可以得到BC=BA，然后根據三角形內角和是180°，可以推出直線BM和CD相交所成的銳角的度數，本題得以解決．

解答 解：（1）補全的圖1如下所示：

連接BD，如上圖1所示，
∵由已知可得，BM垂直平分AD，∠ABM=30°，△ABC是等邊三角形，
∴△BDA是等邊三角形，AD∥BC且AD=BC，DA=DB，
∴四邊形ADBC是菱形，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°；
（2）直線BM和CD相交所成的銳角的度數是定值，若下圖所示，

連接AE交BC于點F，
由已知可得，BD=BA，BA=BC，ED=EA，
則∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，
∴∠BCD=∠EAB，
∵∠EFC=∠BFA，∠ABC=60°，
∴∠CEA=∠ABC=60°，
∵∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，
∴∠DEM=60°，
即直線BM和CD相交所成的銳角的度數是定值，這個銳角的度數是60°．

點評 本題考查了根據軸對稱變換作圖以及等腰三角形的性質、等邊三角形的性質、三角形的內角和、菱形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的圖形，根據所求問題可以探索出所求問題需要的條件．