Question

3．如圖，已知△AOB、△COD都是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，N、M、Q、P分別為AB、CB、CD、AD的中點．求證：四邊形NMQP為正方形．

Answer 1

分析 根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定定理證明△AOC≌△BOD，根據三角形中位線定理證明即可．

解答 證明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∵△AOB、△COD都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∴∠EBA+∠EAB=90°，
∵N、M分別為AB、CB的中點，
∴NM=$\frac{1}{2}$AC，NM∥AC，
∵Q、P分別為CD、AD的中點，
∴QP=$\frac{1}{2}$AC，QP∥AC，
∴NM=PQ，NM∥PQ，
∴四邊形NMQP為平行四邊形，
∵M、Q分別為CB、CD的中點，
∴MQ=$\frac{1}{2}$BD，又NM=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，
∴MN=MQ，
∴四邊形NMQP為菱形，
∵NM∥AC，NP∥BD，
∴∠ANP=∠EBA，∠BNM=∠BAE，
∴∠ANP+∠BNM=90°，即∠MNP=90°，
∴四邊形NMQP為正方形．

點評 本題考查的是三角形中位線定理、正方形的判定定理、三角形全等的判定定理和性質定理，掌握等腰直角三角形的性質、靈活運用相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵．