Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為(1，0)、(-2，0)，現同時將點分別向上平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點的對應點，連接、、.

（1）若在軸上存在點,連接，使S△ABM =S□ABDC，求出點的坐標；

（2）若點在線段上運動，連接，求S=S△PCD+S△POB的取值范圍；

（3）若在直線上運動，請直接寫出的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）(0，4)或(0，-4)；（2）；（3）答案見解析

【解析】（1）先根據S△ABM =S□ABDC，得出△ABM的高為4，再根據三角形面積公式得到M點的坐標；

（2）先計算出S梯形OBDC=5，再討論：當點P運動到點B時，S△POC的最小值=2，當點P運動到點D時，S△POC的最大值=3，即可判斷S=S△PCD+S△POB的取值范圍的取值范圍；

（3）分類討論：當點P在BD上，如圖1，作PE∥CD，根據平行線的性質得CD∥PE∥AB，則∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；

當點P在線段BD的延長線上時，如圖2，同樣有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO-∠EPC=∠BOP-∠DCP，于是∠BOP-∠DCP=∠CPO；同理可得當點P在線段DB的延長線上時，∠DCP-∠BOP=∠CPO．

解：（1）由題意，得C（0，2）

∴□ABDC的高為2

若S△ABM =S□ABDC，則△ABM的高為4

又∵點M是y軸上一點

∴點M的坐標為(0，4)或(0，-4)

（2）∵B（-2，0），O（0，0）

∴OB=2

由題意，得C（0，2），D（-3，2）

∴OC=2，CD=3

∴S梯形OBDC=

點在線段上運動，

當點運動到端點B時，△PCO的面積最小，為

當點運動到端點D時，△PCO的面積最大，為

∴S=S△PCD+S△POB= S梯形OBDC－S△PCO=5－S△PCO

∴S的最大值為5－2=3，最小值為5－3=2

故S的取值范圍是：

（3）如圖：

當點在線段上運動時，

當點在射線上運動時，

當點在射線上運動時，