Question

【題目】問題提出：

（1）如圖1，已知△ABC，試確定一點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形；

問題探究：

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在該矩形中作出一個面積最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求滿足條件的點P到點A的距離；

問題解決：

（3）如圖3，有一座草根塔A，按規定，要以塔A為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形的草根景區BCDE。根據實際情況，要求頂點B是定點，點B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區BCDE？若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積；若不可以，請說明理由。（塔A的占地面積忽略不計）

Answer 1

【答案】（1）點D所在的位置見解析；（2）AP的長為2或8；（3）可以，符合要求的□BCDE的最大面積為.

【解析】

(1)根據平行四邊形的特點，分三種情況利用平移的性質得到點D的位置即可；

(2)由題意可知點P在邊AD上時，△BPC的面積最大，為滿足∠BPC＝90°，根據AB比BC的一半小，以BC為直徑畫圓，圓與AD的交點即可滿足條件的點P，然后根據已知條件利用勾股定理進行求解即可；

(3)可以，如圖所示，連接BD，由已知可得BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圓⊙O，則點E在優弧上，取的中點，連接，則可得△為正三角形，連接并延長，經過點A至，使，連接，可得四邊形為菱形，且∠°，作EF⊥BD，垂足為F，連接EO，則，則有，據此即可求得答案.

(1)如圖所示，有三個符合條件的平行四邊形；

(2)如圖，

∵AB=4，BC=10，

∴取BC的中點O，則OB＞AB，

∴以點O為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O一定于AD相交于兩點，

連接，

∵∠BPC=90°，點P不能在矩形外；

∴△BPC的頂點P在或位置時，△BPC的面積最大，

作⊥BC，垂足為E，則OE=3，∴，

由對稱性得，

綜上可知AP的長為2或8；

(3)可以，如圖所示，連接BD，

∵A為平行四邊形BCDE的對稱中心，BA=50，∠CBE=120°，

∴BD=100，∠BED=60°，

作△BDE的外接圓⊙O，則點E在優弧上，取的中點，連接，

則，且∠=60°，∴△為正三角形，

連接并延長，經過點A至，使，連接，

∵⊥BD，

∴四邊形為菱形，且∠°，

作EF⊥BD，垂足為F，連接EO，則，

∴，

∴，

所以符合要求的□BCDE的最大面積為.