Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線與直線交于，兩點，點是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是直線上方拋物線上的一個動點，其橫坐標為，過點作軸的垂線，交直線于點，當線段的長度最大時，求的值及的最大值．

（3）在拋物線上是否存在異于、的點，使中邊上的高為，若存在求出點的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，PM有最大值；（3）存在，理由見解析；，，，

【解析】

（1）先求得點、的坐標，再代入二次函數表達式即可求得答案；

（2）設點橫坐標為，則，，求得PM關于的表達式，即可求解；

（3）設，則，求得，根據等腰直角三角形的性質，求得，即可求得答案.

（1），令，則，令，則，

故點、的坐標分別為、，

將、代入二次函數表達式為，

解得：，

故拋物線的表達式為：.

（2）設點橫坐標為，則，，

，

當時，PM有最大值；

（3）如圖，過作軸交于點，交軸于點，作于，

設，則，

，

是等腰直角三角形，

，

，

當中邊上的高為時，即，

，

，

當時，解得或，或，

當時，解得或，或，

綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為，，，．