Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）請直接寫出點D的坐標：　 　；

（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) （-3，4）；(2) P為AO中點時，OE的最大值為；（3）存在，或.

【解析】

（1）將點A的坐標代入二次函數的解析式求得其解析式，然后求得點B的坐標即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點D的縱坐標．

（2）PA=t，OE=m，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關兩個變量的二次函數，求最值即可．

（3）分點P位于y軸左側和右側兩種情況討論即可得到重疊部分的面積．

解：（1）將A點坐標代入二次函數的解析式
可得：

解得：b=1，
故二次函數的解析式為：,

可得B點坐標為：（1，0），
故AB長度為：4，
根據正方形的性質可知，AD=AB=4，
故點D坐標為（-3，4）；

（2）設PA=t，OE=m，

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE，

∴．

∴．

∴當t=時，m有最大值，即P為AO中點時，OE的最大值為．

（3）存在．

①點P在y軸左側時，P點的坐標為（﹣4，0）．

由△PAD∽△OEG得OE=PA=1．∴OP=OA+PA=4．

∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO=AD：OE=4：1．

∴．

∴重疊部分的面積=S△PAG．

②當P點在y軸右側時，P點的坐標為（4，0），

仿①步驟，此時重疊部分的面積為．