Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于點E、F．

（1）求證：四邊形AECF是菱形;

（2）當BE=3，AF=5時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據四邊相等的四邊形是菱形即可判斷；
（2）在Rt△ABE中，利用勾股定理可求得AB的長，在Rt△ABC中，利用勾股定理解答即可．

（1）如圖，連接AE，CF，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=FC，AE=EC，
∴∠FAC=∠FCA，
∴∠FCA=∠ACB，
∵∠FCA+∠CFE=90°，∠ACB+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
∴AF=FC=CE=AE，
∴四邊形AECF是菱形；

（2）∵四邊形AECF是菱形，AF=5，

∴CE=AF=AE=5，

由∠B=90°，

∴在Rt△ABE中，

AB=．

∵BC=BE+EC=8，

∴．