Question

【題目】己知是等邊三角形，于點，點是直線上的動點，將繞點順時針方向旋轉得到，連接、、；

（1）如圖1，當點在線段上時，猜想和的數量關系；（直接寫出結果）

（2）如圖2，當點在線段的延長線上時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明你的結論，若不成立，請寫出你的結論，并證明你的結論；

（3）點在直線上運動，當是等腰直角三角形時，請直接寫出的度數．

圖1圖2備用圖

Answer 1

【答案】（1）∠AFC+∠FAC=90°；（2）成立，理由見解析；（3）15°或75°

【解析】

（1）由旋轉的性質可得，，，由“SAS”可證△ABE≌△CBF，可得∠BAE=∠BCF=30°，由直角三角形的性質可得結論；

（2）由旋轉的性質可得，，，先求證△ABE≌△CBF，由△ABE和△CBF全等可得∠BAE=∠BCF=30°，由直角三角形的性質可得結論；

（3）由全等三角形的性質和等邊三角形的性質可得AB=AE，由等腰三角形的性質求解即可；

解：

（1）∠AFC+∠FAC=90°，

理由如下：連接AF，

∵是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=30°，

∵將繞點順時針方向旋轉得到，

∴，，

∴∠EBF=∠ABC=60°，

∴∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠ABE=∠FBC，且AB=AC，，

∴△ABE≌△CBF，

∴∠BAE=∠BCF=30°，

∴∠ACF=90°，

即∠AFC+∠FAC=90°；

（2）成立，∠AFC+∠FAC=90°，

證明：由旋轉可得，

∠EBF=60°，BE=BF，

∴△BEF是等邊三角形，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠ABC+∠CBE=∠EBF+∠CBE，

即∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF，

∴∠BAE=∠BCF，

∵AD⊥BC，

∴∠BAE=∠BAC=30°，

∴∠BCF=30°，

∴∠ACB+∠BCF=90°，

即∠ACF=90°，

∴∠AFC+∠FAC=90°，

（3）∵△ACF是等腰直角三角形，

∴AC=CF，

∵△ABE≌△CBF，

∴CF=AE，

∴AC= AE=AB，

∴，

∴，