【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是線段AB上一點(0<AD<AB).過點B作BE⊥CD,垂足為E.將線段CE繞點C逆時針旋轉90°,得到線段CF,連接AF,EF.設∠BCE的度數為α.
(1)①依題意補全圖形.
②若α=60°,則∠CAF=_____°;=_____;
(2)用含α的式子表示EF與AB之間的數量關系,并證明.
【答案】(1)①補圖見解析;②30,;(2)EF=ABcosα;證明見解析.
【解析】
(1)①利用旋轉直接畫出圖形,
②先求出∠CBE=30°,再判斷出△ACF≌△BCE,得出∠CAF=30°,再利用等腰直角三角形的性質計算即可得出結論;
(2)先判斷出△ACF≌△BCE,得出∠CAF=α,再同(1)②的方法即可得出結論.
(1)①將線段CE繞點C逆時針旋轉90°,得到線段CF,連接AF,EF,如圖1;
②∵BE⊥CD,∠CEB=90°,
∵α=60°,
∴∠CBE=30°,
在Rt△ABC中,AC=BC,
∴AC=AB,
∵∠FCA=90°﹣∠ACE,∠ECB=90°﹣∠ACE,
∴∠FCA=∠ECB=α.
在△ACF和△BCE中,
AC=BC,∠FCA=∠ECB,FC=EC,
∴△ACF≌△BCE(SAS),
∴∠AFC=∠BEC=90°,∠CAF=∠CBE=30°,
∴CF=AC,
由旋轉知,CF=CE,∠ECF=90°,
∴EF=CF=
AC=
×
AB=
AB,
∴=
,
故答案為30,;
(2)EF=ABcosα.
證明:∵∠FCA=90°﹣∠ACE,∠ECB=90°﹣∠ACE,
∴∠FCA=∠ECB=α.
同(1)②的方法知,△ACF≌△BCE,
∴∠AFC=∠BEC=90°,
∴在Rt△AFC中,cos∠FCA=.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵∠ECF=90°,CE=CF,
∴∠CFE=∠CEF=45°.
在△FCE和△ACB中,
∠FCE=∠ACB=90°,
∠CFE=∠CAB=45°,
∴△FCE∽△ACB,
∴=cos∠FCA=cosα,
即EF=ABcosα.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系內,四邊形OABC是矩形,四邊形ADEF是正方形,點A,D在x軸的正半軸上,點F在BA上,點B、E均在反比例函數y=(k≠0)的圖象上,若點B的坐標為(1,6),則正方形ADEF的邊長為( )
A.1B.2C.4D.6
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【題目】如圖,P是拋物線y=﹣x2+x+2在第一象限上的點,過點P分別向x軸和y軸引垂線,垂足分別為A,B,則四邊形OAPB周長的最大值為_____.
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【題目】如圖,在平面直角系中,點A在x軸正半軸上,點B在y軸正半軸上,∠ABO=30°,AB=2,以AB為邊在第一象限內作等邊△ABC,反比例函數的圖象恰好經過邊BC的中點D,邊AC與反比例函數的圖象交于點E.
(1)求反比例函數的解析式;
(2)求點E的橫坐標.
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【題目】如圖,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數y=的圖象的兩個交點.
(1)求反比例函數和一次函數的解析式;
(2)求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積;
(3)直接寫出一次函數的值小于反比例函數值的x的取值范圍.
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【題目】己知是等邊三角形,
于點
,點
是直線
上的動點,將
繞點
順時針方向旋轉
得到
,連接
、
、
;
(1)如圖1,當點在線段
上時,猜想
和
的數量關系;(直接寫出結果)
(2)如圖2,當點在線段
的延長線上時,(1)中的結論還成立嗎?若成立,請證明你的結論,若不成立,請寫出你的結論,并證明你的結論;
(3)點在直線
上運動,當
是等腰直角三角形時,請直接寫出
的度數.
圖1圖2
備用圖
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【題目】如圖,已知是一次函數
的圖象與反比例函數
的圖象的兩個交點
(1)求此反比例函數和一次函數的解析式.
(2)根據圖象寫出使反比例函數的值大于一次函數的值的x取值范圍.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,點E是斜邊AB上的一個動點,連接CE,過點B,C分別作BD∥CE,CD∥BE,BD與CD相交于點D.
(1)當CE⊥AB時,求證:四邊形BECD是矩形;
(2)填空:
①當BE的長為______時,四邊形BECD是菱形;
②在①的結論下,若點P是BC上一動點,連接AP,EP,則AP+EP的最小值為______.
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