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【題目】如圖,RtABC中,∠ACB90°,ACBC,D是線段AB上一點(0ADAB).過點BBECD,垂足為E.將線段CE繞點C逆時針旋轉90°,得到線段CF,連接AF,EF.設∠BCE的度數為α

1)①依題意補全圖形.

②若α60°,則∠CAF_____°;_____

2)用含α的式子表示EFAB之間的數量關系,并證明.

【答案】1)①補圖見解析;②30,;(2EFABcosα;證明見解析.

【解析】

1)①利用旋轉直接畫出圖形,

②先求出∠CBE30°,再判斷出ACF≌△BCE,得出∠CAF30°,再利用等腰直角三角形的性質計算即可得出結論;

2)先判斷出ACF≌△BCE,得出∠CAFα,再同(1)②的方法即可得出結論.

1)①將線段CE繞點C逆時針旋轉90°,得到線段CF,連接AF,EF,如圖1;

②∵BECD,∠CEB90°,

α60°

∴∠CBE30°,

RtABC中,ACBC,

ACAB,

∵∠FCA90°﹣∠ACE,∠ECB90°﹣∠ACE

∴∠FCA=∠ECBα

ACFBCE中,

ACBC,∠FCA=∠ECB,FCEC,

∴△ACF≌△BCESAS),

∴∠AFC=∠BEC90°,∠CAF=∠CBE30°,

CFAC,

由旋轉知,CFCE,∠ECF90°,

EFCFAC×ABAB,

,

故答案為30,;

2EFABcosα

證明:∵∠FCA90°﹣∠ACE,∠ECB90°﹣∠ACE

∴∠FCA=∠ECBα

同(1)②的方法知,ACF≌△BCE,

∴∠AFC=∠BEC90°,

∴在RtAFC中,cosFCA

∵∠ACB90°,ACBC

∴∠CAB=∠CBA45°

∵∠ECF90°,CECF,

∴∠CFE=∠CEF45°

FCEACB中,

FCE=∠ACB90°,

CFE=∠CAB45°,

∴△FCE∽△ACB,

cosFCAcosα,

EFABcosα

練習冊系列答案
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