Question

【題目】如圖，已知等邊△ABO在平面直角坐標系中，點A（4 ，0），函數y= （x＞0，k為常數）的圖象經過AB的中點D，交OB于E．
（1）求k的值；
（2）若第一象限的雙曲線y= 與△BDE沒有交點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點B作BM⊥OA于點M，如圖所示．

∵點A（4 ，0），

∴OA=4 ，

又∵△ABO為等邊三角形，

∴OM= OA=2 ，BM= OA=6．

∴點B的坐標為（2 ，6）．

∵點D為線段AB的中點，

∴點D的坐標為（ ， ）=（3 ，3）．

∵點D為函數y= （x＞0，k為常數）的圖象上一點，

∴有3= ，解得：k=9

（2）解：設過點B的反比例函數的解析式為y= ，

∵點B的坐標為（2 ，6），

∴有6= ，解得：n=12 ．

若要第一象限的雙曲線y= 與△BDE沒有交點，只需m＜k或m＞n即可，

∴m＜9 或m＞12 ．

答：若第一象限的雙曲線y= 與△BDE沒有交點，m的取值范圍為m＜9 或m＞12

【解析】（1）過點B作BM⊥OA于點M，由等邊三角形的性質結合點A的坐標找出點B的坐標，再利用中點坐標公式即可求出點D的坐標，最后利用待定系數法即可得出結論；（2）設過點B的反比例函數的解析式為y= ，由點B的坐標利用待定系數法求出n的值，根據反比例函數的性質即可得出m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的反比例函數的性質，需要了解性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減�。� 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能得出正確答案．