Question

【題目】如圖1，矩形的頂點，的坐標分別為（2，0），（0，3） ，拋物線：經過，兩點.拋物線的頂點為.

（1）求拋物線的表達式和點的坐標；

（2）點是拋物線對稱軸上一動點，當為等腰三角形時，求所有符合條件的點的坐標；

（3）如圖2，現將拋物線進行平移，保持頂點在直線上，若平移后的拋物線與射線只有一個公共點.設平移后拋物線的頂點橫坐標為，求的值或取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（1，4）；（2）或或或或；（3）或

【解析】

（1）由題意可知B，C兩點的坐標，利用待定系數法即可解決問題；

（2）分三種不同的情況：①當AC=AP時，②當AC=CP時，③當AP=CP時，設P（1，t），根據兩點間的距離公式，求出AC2=9+4=13，AP2=1+t2，CP2=1+（t-3）2，分別列出方程即可解決；

（3）先求得直線CD的解析式，利用直線與拋物線的交點、拋物線的平移變換規律來求m的取值范圍即可．

（1）∵矩形的頂點，的坐標分別為（2，0），（0，3）

∴OA=2,OC=3,即B（2,3）

把點、分別代入，得

解得，

則該拋物線的解析式為：；

又∵

∴頂點

（2）設，

，，

①當時，，，∴或

②當時，，，∴或

③當時，，，∴

（3）∵、，

∴易得直線的解析式為：，移動中拋物線的頂點為，則拋物線為，

又， ，

將代入，，

解得，，

∴

又

∴，

∵ ，

解得

∴頂點橫坐標的值或取值范圍為或.