Question

【題目】如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點.若⊙O的半徑為8，則GE+FH的最大值為__________ ．

Answer 1

【答案】12

【解析】

由點E、F分別是AC、BC的中點，根據三角形中位線定理得出EF=AB為定值，則GE+FH=GH-EF，所以當GH取最大值時，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長的弦，故當GH為⊙O的直徑時，即可求得GE+FH的最大值.

解：當GH為⊙O的直徑時，GE+FH有最大值，當GH為直徑時，E點與O點重合，

∴AC也是直徑，AC=16,

∵∠ABC是直徑上的圓周角,

∴∠ABC=90°，

∵∠C=30°，

∴AB=AC=8,

∵點E、F分別為AC、BC的中點，

∴EF=AB=4，

∴GE+FH=GH﹣EF=16﹣4=12．

故答案為:12