Question

觀察下列圖形： 如果按這個規律一直排到第n個圖形，請探究下列問題：
（1）設第n個圖形和第n-1個圖形中所有三角形的個數分別為a_n、a_n-1，問：它們之間有什么數量關系？請寫出這個關系式。
（2）請你用含n的代數式來表示a_n，并證明你的結論。

Answer 1

解：（1）按題中圖形的排列規律可得：a_n =3a_n-1 +2
（2）由（1）得：a_n =3a_n-1 +2 ，a_n-1 =3a_n-2 +2 ，
             兩式相減得： a_n -a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）                          ①
            當n分別取3、4、5、…、n時，由①式可得下列（n-2）個等式：
              a₃-a₂=3（a₂-a₁）, a₄-a₃=3（a₃-a₂）, a₅-a₄=3（a₄-a₃）,…, a_n-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）
              顯然a_n-a_n-1≠0，
        以上（n-2）個等式的左右兩邊分別相乘約去相同的項后得：
        a_n-a_n-1=3^n-2 (a₂-a₁)                                                        ② 
         ∵ a₂-a₁=17-5=12，由（1）又可知a_n-1=（a_n-2），
         將它們代入②式即得：a_n=2×3ⁿ-1