Question

19．小明在課外學習時遇到這樣一個問題：
定義：如果二次函數y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．
求y=-x²+3x-2函數的“旋轉函數”．
小明是這樣思考的：由y=-x²+3x-2函數可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-3，根據a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0求出a₂，b₂，c₂，就能確定這個函數的“旋轉函數”．
請參考小明的方法解決下面的問題：
（1）寫出函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數”；
（2）若函數y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2與y=x²-2nx+n互為“旋轉函數”，求（m+n）²⁰¹⁵的值；
（3）已知函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A，B，C關于原點的對稱點分別是A₁，B₁，C₁，試證明經過點A₁，B₁，C₁的二次函數與函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉函數”．

Answer 1

分析 （1）根據“旋轉函數”的定義，結合二次函數的解析式，即能求得已知函數的“旋轉函數”；
（2）根據函數y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2與y=x²-2nx+n互為“旋轉函數”，結合互為“旋轉函數”的定義，能求出m、n，將m、n的值代入（m+n）²⁰¹⁵中，本題得解；
（3）先根據函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，求出A、B、C的坐標，再根據點A，B，C關于原點的對稱點分別是A₁，B₁，C₁，求出點A₁，B₁，C₁的坐標，找出過點A₁，B₁，C₁的二次函數的解析式，與函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）比對，即可證得結論．

解答 解：（1）由y=-x²+3x-2函數可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-3，
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=3，
即函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數”為y=x²+3x+2．
（2）∵函數y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2與y=x²-2nx+n互為“旋轉函數”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}m=-2n}\\{-2+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴（m+n）²⁰¹⁵=（-3+2）²⁰¹⁵=-1．
（3）證明：∵函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∵點A，B，C關于原點的對稱點分別是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），
設經過C₁的二次函數解析式為y=a（x-1）（x+4），
將C₁（0，-2）代入得-2=-4a，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴經過點A₁，B₁，C₁的二次函數解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∵y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴a₁+a₂=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，b₁=b₂=$\frac{3}{2}$，c₁+c₂=2+（-2）=0，
∴經過點A₁，B₁，C₁的二次函數與函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉函數”．

點評 本題考查了二次函數的綜合運用，解題的關鍵是抓住互為“旋轉函數”的定義，利用函數各多項式前面的系數解決問題．