Question

14．如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個動點，以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，⊙O外接于△CDE，則⊙O半徑的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 分別作∠A與∠B角平分線，交點為P．由三線合一可知AP與BP為CD、CE垂直平分線；再由垂徑定理可知圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點P與圓心O重合，即圓心O是一個定點；連OC，若半徑OC最短，則OC⊥AB，由△AOB為底邊4，底角30°的等腰三角形，可求得OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：如圖，分別作∠A與∠B角平分線，交點為P．
∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，
∴AP與BP為CD、CE垂直平分線．
又∵圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點P與圓心O重合，即圓心O是一個定點．
連接OC．
若半徑OC最短，則OC⊥AB．
又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，
∴OA=OB，
∴AC=BC=2，
∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了圓的綜合題．需要掌握等邊三角形的“三線合一”的性質，三角形的外接圓圓心為三角形的垂心，點到直線的距離垂線段最短以及解直角三角形等知識點．難度不大，注意數形結合數學思想的應用．