Question

9．如圖（1）已知：△ABC是等腰三角形，AB=BC，點D為△ABC外一點，∠DBC=2∠DAC．
（1）求證：BD=BC．
（2）如圖2，若∠BAC=60°，BG平分∠ABD，交CD的延長線于G，BG分別交AD、AC于點E、F，若EG=4EF，請你探究線段CF與BD的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，作BF平分∠DBC交AC、CD于E、F，根據題意可以證明∠BDA=∠BAD得BA=BD=BC．
（2）在圖②中作DR∥BG交AC于R，利用平行成比例即可解決

解答 證明：（1）如圖①中，作BF平分∠DBC交AC、CD于E、F，AC和BD交于點G．
∵∠DBC=2∠DAG，
∴∠DAG=∠GBE，
∵∠DAG+∠AGD+∠ADG=∠GBE+∠BGE+∠GEB=180°，∠AGD=∠BGE，
∴∠ADG=∠BEG，
∵∠BEG=∠BCE+∠EBC，∠BAD=∠BAC+∠DAG，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠DAG=∠EBC，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=BA=BC即BD=BC．
（2）結論：CF=$\frac{5}{8}$BD．
理由如下：在圖②中作DR∥BG交AC于R．
∵AB=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BD=BC=AC=AB，
∵BG平分∠ABD，
∴BG⊥AD，
∴AE=ED，
∵EF∥RD，
∴AF=FR，
∵EG=4EF，設EF=a，則EG=4a，FG=5a，RD=2EF=2a，
∴$\frac{RD}{FG}=\frac{RC}{CF}=\frac{2a}{5a}$=$\frac{2}{5}$，
設CR=2k，CF=5k，則RF=AF=3k，AC=8k，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{5k}{8k}$=$\frac{5}{8}$，
∴CF=$\frac{5}{8}$BD．

點評 本題考查了等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的判定和性質、平行成比例的性質等知識，靈活運用這些知識是解題的關鍵．