Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，點E、F在對角線AC上，且AE＝CF，

（1）證明：△ABE≌△ADE；

（2）證明：四邊形BFDE是菱形；

（3）若AC＝4，BD＝8，AE＝，請求出四邊形BFDE的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）根據菱形的性質可得AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，再利用SAS證明△ABE≌△ADE即可；（2）連接BD，交AC于O，易證OB＝OD，EF⊥BD，OE＝OF，根據對角線互相垂直平分的四邊形為菱形即可判定四邊形BFDE是菱形；（3）根據已知條件求得EF的長，再由菱形的面積為兩條對角線乘積的一半即可求得四邊形BFDE的面積．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，

在△ABE和△ADE中， ，

∴△ABE≌△ADE（SAS）；

（2）證明：連接BD，交AC于O，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，

∴EF⊥BD，

∴AE＝CF，

∴OE＝OF，

∴四邊形BFDE是菱形；

（3）解：∵AC＝4，AE＝，AE＝CF，

∴EF＝AC﹣2AE＝4﹣2＝2，

由（2）知：四邊形BFDE是菱形，

∴四邊形BFDE的面積＝EF×BD＝×2×8＝8．