Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（﹣3，4），點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交于y軸于點H．

（1）連接BM，動點P從點A出發，沿折線ABC方向以1個單位/秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；

（2）在（1）的情況下，當點P在線段AB上運動時，是否存在以BM為腰的等腰三角形BMP？如存在，求出t的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當t=1或時，△PMB為以BM為腰的等腰三角形．

【解析】

（1）設點M到BC的距離為h，由△ABC的面積易得h，利用分類討論的思想，三角形的面積公式①當P在直線AB上運動；②當P運動到直線BC上時分別得△PBM的面積；

（2）分類討論：①當MB=MP時，PH=BH，解得t；②當BM=BP時，利用勾股定理可得BM的長，易得t．

解：

（1）設點M到BC的距離為h，

由S△ABC=S△ABM+S△BCM，

即 ，

∴h=，

①當P在直線AB上運動時△PBM的面積為S與P的運動時間為t秒關系為：

S=（5﹣t）×，即S=﹣ （0≤t＜5）；

②當P運動到直線BC上時△PMB的面積為S與P的運動時間為t秒關系為：

S= [5﹣（10﹣t）]×，即S=t-（5＜t≤10）；

（2）存在①當MB=MP時，

∵點A的坐標為（﹣3，4），AB=5，MB=MP，MH⊥AB，

∴PH=BH，即3﹣t=2，

∴t=1；

②當BM=BP時，即5﹣t= ，

∴

綜上所述，當t=1或時，△PMB為以BM為腰的等腰三角形．