Question

【題目】（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE。

①∠AEB的度數為__________；

②線段AD，BE之間的數量關系為__________；

（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離為________________________________。

Answer 1

【答案】（1）①60°，②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由見解析；（3）A到BP的距離為或.

【解析】

（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．
（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當的輔助線，借助于（2）中的結論即可解決問題．

解：（1）①如圖1，

∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案為：60°．

②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE。

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=90°，

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME，

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）A到BP的距離為或．

理由如下：
∵PD=1，
∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．
∵∠BPD=90°，
∴點P在以BD為直徑的圓上．
∴點P是這兩圓的交點．
①當點P在如圖3①所示位置時，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．
∴BD= ．
∵DP=1，
∴BP=．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，
∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，
∴由（2）中的結論可得：BP=2AH+PD．
∴=2AH+1．
∴AH=．

②當點P在如圖3②所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．
同理可得：BP=2AH-PD．
∴=2AH-1．
∴AH=．
綜上所述：點A到BP的距離為或．

故答案為：（1）①60°，②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由見解析；（3）A到BP的距離為或．