Question

如圖，點C在線段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，點M、N分別是AC、BC的中點．
（1）求線段MN的長；
（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB=a cm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由；
（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC-BC=bcm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由；
（4）你能用一句簡潔的話，描述你發現的結論嗎？

Answer 1

分析：（1）根據M、N分別是AC、BC的中點，我們可得出MC、NC分別是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就應該是AC、BC和的一半，也就是說MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；
（2）方法同（1）只不過AC、BC的值換成了AC+CB=a cm，其他步驟是一樣的；
（3）當C在線段AB的延長線上時，根據M、N分別是AC、BC的中點，我們可得出MC、NC分別是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就應該是AC、BC的差的一半，也就是說MN是AC-BC即AB的一半．有AC-BC的值，MN也就能求出來了；
（4）綜合上面我們可發現，無論C在線段AB的什么位置（包括延長線），無論AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．

解答：解：（1）
∵M、N分別是AC、BC的中點，
∴MC=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，
∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，
∴MN=

1

2

AB=7cm；

（2）MN=

a

2

，
∵M、N分別是AC、BC的中點，
∴MC=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，
又∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，
∴MN=

1

2

（AC+BC）=

a

2

；

（3）
∵M、N分別是AC、BC的中點，
∴MC=

1

2

AC，NC=

1

2

BC，
又∵AB=AC-BC，NM=MC-NC，
∴MN=

1

2

（AC-BC）=

b

2

；


（4）如圖，只要滿足點C在線段AB所在直線上，點M、N分別是AC、BC的中點．那么MN就等于AB的一半．

點評：利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．