Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為1，A,P,B,C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°

（1）當點P位于的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？并求出最大面積;

（2）試探究線段PA,PB,PC之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）點P為的中點；．（2）CP=BP+AP.

【解析】

試題（1）過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積．

（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得.

試題解析：（1）當點P為的中點時，四邊形APBC的面積最大．

理由如下，如圖1，過點P作PE⊥AB，垂足為E．

過點C作CF⊥AB，垂足為F．

∵

∴S四邊形APBC=AB（PE+CF），

當點P為的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，

∴此時四邊形APBC的面積最大．

又∵⊙O的半徑為1，

∴其內接正三角形的邊長AB=，

∴S四邊形APBC=×2×=．

（2）在PC上截取PD=AP，如圖2，

又∵∠APC=60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴CP=BP+AP.