Question

已知M是△ABC內一點，且∠BMC=90°+

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∠BAC，又直線經過△BMC的外接圓的圓心O，試證明：點M是△ABC內切圓的圓心．

Answer 1

分析：設∠BAC=2α，可證明A、B、O、C四點共圓，則∠ABC=∠AOC=2∠MPC，則BM平分∠ABC．同理可證CM平分∠ACB，點M是△ABC的內心．

解答：證明：如圖，設∠BAC=2α，則∠BMC=90°+α，
∠BOC=2∠BPC=2（180°-∠BMC）=2[180°-（90°+α）]=180°-2α，
∴∠BAC+∠BOC=180°，∴A、B、O、C四點共圓，
于是∠ABC=∠AOC=2∠MPC，
∵∠MPC=∠MBC，∴∠ABC=2∠MBC，
即

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∠ABC=∠MBC，∴BM平分∠ABC．
同理可證CM平分∠ACB，
∴點M是△ABC的內心．

點評：本題考查了三角形的內切圓和四點共圓問題．是綜合題，難度較大．